Gli addobbi natalizi tornano nella scatola. Come puoi farlo in modo efficiente in spazi dimensionali superiori?

Se i tuoi addobbi natalizi verranno presto riposti, come reagirai? Lo spazio nella scatola viene utilizzato in modo più efficiente sovrapponendo prima gli ornamenti natalizi in una griglia a nido d'ape. Quindi posiziona il secondo strato di palline in modo che ciascuna pallina cada in un buco nel primo strato e continua a ripetere questo strato dopo strato.

I matematici chiamano lo spazio utilizzato “densità” della trave. Se l’intero spazio tridimensionale fosse riempito con sfere di uguali dimensioni disposte in un numero infinito di strati – ciascuno strato secondo uno schema a nido d’ape – allora la densità sarebbe di circa il 74% (il valore esatto è π (pi) diviso per la radice quadrata di 18). Giovanni Keplero nel 1611 dubitava che questa densità fosse ottimale. Nonostante la semplicità del problema, non è stata trovata alcuna prova fino al 1998. L’americano Thomas Hills ha impiegato 250 pagine piene di ragionamenti e calcoli, facendo affidamento su un intenso lavoro al computer.

Teoria di Pitagora

All’inizio di questo mese, i matematici Marcelo Campos, Matthew Jensen, Markus Michelin e Julian Sahasrabudhe hanno sviluppato articolo Online con un nuovo risultato sulla densità dei pacchetti sferici in spazi di dimensione superiore. Campi con dimensioni superiori a tre non possono più essere visualizzati, ma possono essere descritti matematicamente. Per la distanza tra due punti su un piano piatto vale il noto teorema di Pitagora. Ad esempio, la distanza tra un punto con coordinate (1, 2) e un punto con coordinate (4, 6) è √((4-1)² + (6 – 2)²) = √(3² +4²) = √25 = 5. In uno spazio tridimensionale o più grande, si fa allo stesso modo: la distanza tra (1, 2, 3, 4) e (4, 6, 15, 88) – due punti in uno spazio quadridimensionale spazio dimensionale – è uguale a √((4-1)² + (6 – 2)² + (15 – 3)² + (88 – 4)²) = √(3² +4² +12² +84²) = √7.225 = 85.

Utilizzando questa versione dimensionale di Pitagora, è possibile descrivere una sfera con un dato centro e un dato raggio, in qualsiasi dimensione: l'insieme di tutti i punti che hanno la stessa distanza (raggio) dal centro. I matematici poi si chiedono quanto spazio occupano queste sfere di dimensione superiore.

Trovare il miglior imballaggio per palloni di pari dimensioni ma con dimensioni elevate è un problema molto difficile. Le palline possono essere impilate in quattro dimensioni con una densità di circa il 62% (esattamente: π² Diviso per 16). Le sfere si trovano in una griglia quadridimensionale. È stato dimostrato che non è preferibile un impilamento regolare, ma non è stato dimostrato che nessuna disposizione irregolare dia luogo a un imballaggio più denso.

La teoria dell'impilamento nelle dimensioni superiori è definita “completamente misteriosa”.

Qualcosa di simile vale per la quinta, sesta e settima dimensione: i raggi sferici più conosciuti hanno densità rispettivamente di circa 47, 37 e 30%. Nessuno si aspetta che ciò venga fatto in modo più efficiente, ma ciò non è dimostrato.

L'eccezione è l'ottava dimensione. Nel 2016, la matematica ucraina Marina Viazovska ha dimostrato che l’impilamento a lungo sospettato è ottimale – ad una densità del 25% (esattamente: π⁴ diviso per 384) – è in realtà il migliore. Le è valso la Medaglia Fields 2022, il premio più importante per i giovani matematici.

All'aumentare della dimensione aumenta anche la percentuale di spazio vuoto tra le palline. Non si sa quasi nulla di buoni pali sferici, dove lo spazio vuoto è il più limitato possibile, e di dimensioni molto elevate. La densità ottimale viene raggiunta attraverso l'impilamento strutturato? O specificamente a causa dello stack che non mostra alcuno schema regolare?

Poiché ogni dimensione presenta ostacoli diversi, è difficile dire qualcosa di generale al riguardo. Sarebbe fantastico: una formula già pronta che ti dica per ogni dimensione la densità più alta che si può raggiungere. Tuttavia, non esiste una formula del genere, motivo per cui i matematici cercano limiti inferiori e superiori. Il minimo indica la densità che può essere sicuramente raggiunta: il requisito che sia ideale non è più richiesto. Il minimo facilmente dimostrabile che vale per qualsiasi dimensione n è 1/2^N (Vedi Appendice sotto).

Il minimo è migliore

Nel 1947, il britannico Claude Rogers trovò un limite inferiore molto migliore. Ulteriori miglioramenti non erano significativi. Campos, Jensen, Michelin e Sahasrabuddhi hanno ormai fatto un grande passo. Hanno dimostrato che per ogni dimensione n “sufficientemente alta” esiste una popolazione di palline di uguali dimensioni con una densità “un fattore dell'ordine di grandezza del logaritmo di n” migliore della densità che era la migliore ma la minima utilizzata essere.

La loro versione iniziale non è stata formalmente sottoposta a revisione paritaria, ma gli esperti sono entusiasti. Medaglia Fields Timothy Gowers

I quattro matematici definiscono la teoria degli stack sferici ad alta dimensione “completamente misteriosa”. I suoi cumuli sferici sono molto irregolari: sotto non c'è una griglia simmetrica. Aggiungono sempre un nuovo campo mediante quello che viene chiamato processo di Poisson, un modello matematico che descrive i momenti in cui si verificano eventi accidentali. Il famoso matematico Terence Tao ha scritto su Mastodon che questa “sembra essere la prima volta che questo metodo viene applicato con successo al classico problema dell'impilamento delle palline”.

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