Quante regine possono stare in una torta di scacchi?

Prendi una scacchiera (8 x 8 caselle) e otto regine. Riesci a mettere insieme quei pezzi senza che due di loro si scontrino l’un l’altro? Due regine possono colpirsi a vicenda se si trovano nella stessa riga, colonna o diametro. Sì, rispondi: uno dei metodi possibili è mostrato qui in alto a destra nell’illustrazione.

Ora immagina che una scacchiera sia fatta di gomma elastica. Crea un tubo a scacchiera incollando insieme due lati opposti. Quindi incollare le due estremità arrotondate per creare una forma a ciambella.

Poi si è scoperto che non era rimasto nulla della soluzione sulla scacchiera piatta. Basta guardare i due catrami indicati: Sulla ciambella, il catrame va di pari passo. Due regine su una diagonale: questo non è consentito.

Il formato come tratto distintivo

I matematici si occupano di matematica sulla scacchiera sin dal XIX secolo, ma è solo negli ultimi anni che sono stati fatti dei veri progressi. Il 16 settembre, Candida Bottle e Peter Kivach, un matematico dell’Università di Oxford, hanno pubblicato un enorme documento di 161 pagine. Torna alla stampa arXiv. In esso hanno dimostrato una serie di risultati, culminati in una formula per il numero di soluzioni su grandi scacchiere a forma di ciambella.

Il punto di partenza è sempre una scacchiera quadrata, non necessariamente in formato 8×8, ma in generale n×n, che è fissato a una torta ciambella. La domanda centrale: quanti metodi esistono? n Mettere le regine in un modo che nessun’altra regina di famiglia può fare? Quindi potrebbe essere una regina 17 su una tavola a ciambella 17 x 17, una regina 2021 su una tavola 2021 x 2021 o qualsiasi numero.

Le risposte esatte sono disponibili solo per alcuni piccoli e specifici valori di n. Ad esempio, ci sono 4.524 soluzioni se n= 13 e 1.957.725.000 se n= 25. I matematici cercano modelli e sperano di trovare una formula generale per lastre di qualsiasi dimensione.

A differenza di una scacchiera piatta, la scacchiera a ciambella ha una grande simmetria. Mentre su un tabellone normale, è importante che la regina sia al centro o da qualche parte sul bordo, su un tabellone a forma di ciambella, che ogni quadrato sia pari. Dopotutto, le lunghezze delle diagonali sul piatto piano sono diverse, ma sulla ciambella le righe, le colonne e le diagonali sono tutte esattamente della stessa lunghezza. Questa simmetria rende la tavola per ciambelle un interessante oggetto matematico.

Il matematico ungherese George Polia, autore del famoso libro pubblicato in diverse lingue come risolverlo, provato nel 1918 quando possibile n Regine su un piatto delle dimensioni di una ciambella n×n Per la posizione: funziona solo se n Non divisibile per 2 o 3. Su un piatto piano 8 x 8 ci sono non meno di 92 soluzioni, ma dal teorema di Bolea segue che nessuna di esse vale se il piatto assume la forma di una torta tonda: in fondo 8 è divisibile per 2.

Pólya ha dimostrato che ci sono soluzioni se n Non un multiplo di 2 o 3, ma non ha saputo rispondere alla domanda sul numero. Quante soluzioni ci sono se n Mille e uno? O due milioni e cinque? È ragionevole dirlo in una forma? Questa domanda è stata ora risolta da Bowtell e Keevash. Almeno, una buona equazione di approssimazione dà: per grandi valori di n, non divisibile per 2 o 3, ci sono approssimativamente (0.0498n)ⁿ Soluzioni.

Sebbene la formula non dia una risposta esatta, diventa chiaro quanto velocemente stia crescendo il numero di possibili formazioni n diventa più grande. Bowtell spiega in una mail: “La crescita è ‘molto esponenziale’, perché la variabile n Si verifica sia nella base che nell’esponente. Fatta eccezione per un numero limitato di casi, la nostra formula dà qualsiasi valore per n Un’approssimazione molto accurata del numero di soluzioni.”

fare jogging all’aperto

Bowtell ha iniziato a lavorare sul problema della regina quasi quattro anni fa – è stato uno dei temi principali della sua ricerca di dottorato sotto Kivash. Molti modi per raggiungere una possibile soluzione si sono rivelati vicoli ciechi. Bautil a volte sentiva di dover rinunciare all’intero problema. Niente funziona. In quei momenti, la corsa era un modo per sfondare il muro: “Correre all’aperto ha creato uno spazio nella mia testa per guardare al problema in modo diverso”.

Alla fine, i pezzi del puzzle sono andati a posto. Bowtell e Keevash fecero ampio uso della cosiddetta teoria dei grafi, una branca della matematica con applicazioni, tra le altre cose, nella teoria delle decisioni e nell’informatica. In poche parole, un grafo è una rete di nodi che possono o meno essere collegati tra loro. Hanno formulato il problema in termini di “collegamenti” in tale rete. Un “collegamento” è un insieme di segmenti di linea collegati senza nodi comuni.

Il problema della regina fa parte di una varietà di problemi combinatori, poiché i matematici cercano generalità e formule “associative”: le approssimazioni che migliorano. n Aumenta. Bowtell: “Questi tipi di problemi di conteggio sono generalmente molto difficili. Pertanto, i nostri metodi possono essere utili per rispondere a domande simili”.