Premio per la matematica: come si impilano le arance in otto dimensioni?

“Tre settimane fa, la mia vita è cambiata per sempre, in un modo drammatico che non avrei mai potuto immaginare”. È così che la matematica ucraina Marina Vyazovska ha iniziato il 16 marzo la sua presentazione Alla Eidgenössische Technische Hochschule di Zurigo. La sua storia, About “Fourier Interpolation”, è dedicata alla 21enne connazionale Yulia Zhdanovska, una stella nascente della matematica e dell’informatica, la cui vita è finita bruscamente durante il bombardamento di Kharkov, la seconda città dell’Ucraina.

La 37enne, che è professoressa all’EPFL di Losanna, in Svizzera, dal 2018, ha ricevuto la prestigiosa Field Medal a Helsinki il 5 luglio, tra l’altro per il suo resoconto su come confezionare in modo ottimale sfere di grandi dimensioni. Il suo nome è già circolato sui forum Internet, a volte accompagnato da commenti sulla falsariga della “libertà per l’Ucraina” – come se meritasse il premio a causa della sua nazionalità. Ma le medaglie Fields riguardano una cosa: la matematica rivoluzionaria. Non è l’Eurovision Song Contest.

Per Viazovska, l’università di Kiev era “il posto migliore per studiare matematica”. Il livello era molto alto. “Dopo aver conseguito una laurea in Ucraina, la maggior parte di loro sceglie di cercare un lavoro”, ha detto una volta in un’intervista “Ma”. A Viazovska non piaceva, sentiva di non essersi ancora laureata.

Marina Vjazovska. Foto di Fred Merz / Lundy 13

Così nel 2005 ho viaggiato all’estero. Ha conseguito il master a Kaiserslautern, in Germania, e si è trasferita a Bonn per il dottorato. Nel 2016 – ora una studentessa post-dottorato a Berlino – Vyazowska ha annunciato una soluzione a un problema notoriamente difficile. Ho mostrato come i domini 8-D possono essere impilati nel modo più efficiente possibile. svolta. La sua soluzione ha attirato l’attenzione del mondo.

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Come si cercano questi campi? È impossibile immaginarli. Ma può essere descritto da formule. Nel nostro familiare mondo tridimensionale, i punti sono nominati con tre coordinate. Allo stesso modo, gli otto punti dimensionali sono contrassegnati da otto coordinate.

In due dimensioni, le palline sono cerchi piatti. Per poter inserire più cerchi possibile su una superficie, dividere la superficie in una griglia di esagoni regolari, il noto nido d’ape. Quindi i cerchi occupano circa il 91 percento (pi diviso per la radice quadrata di 12) dell’intero piano. Questo è stato dimostrato essere il modo più efficiente di disporre i cerchi negli anni ’90 dell’Ottocento.

proprio nel pozzo

Versione 3D – Come impilare le arance nel modo più efficiente possibile? – Ha anche una risposta chiara. Stendi uno strato di arance seguendo il motivo dei cerchi, quindi posiziona un altro strato sopra di essi con lo stesso motivo, in modo che ogni arancia cada completamente nel pozzo del primo strato e continua a ripetere questo strato dopo strato. L’area occupata da un’arancia è di circa il 74 percento (pi diviso per la radice quadrata di 18). Solo nel 1998 è stato dimostrato che non esiste un impilamento più efficiente. All’epoca, le prove furono accolte con un certo scetticismo perché si basavano molto sui calcoli del computer, ma ora nessuno ne dubita.

La prossima domanda logica per i matematici è come impilare in modo ottimale palline di dimensioni superiori. La difficoltà è che non esiste un metodo risolutivo che possa essere utilizzato in tutte le dimensioni. Ogni dimensione ha le sue peculiarità. L’unica cosa generale che puoi dire a riguardo è che la distanza tra le sfere aumenta all’aumentare della distanza.

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Le dimensioni 8 e 24 sono speciali. La spaziatura sarà abbastanza grande da adattarsi a un nuovo campo nel mezzo. Le palline si adattano perfettamente a una rete, proprio come un nido d’ape in due dimensioni. Il professionista parla della rete E8 e della rete Leech. In queste griglie, le palline riempiono rispettivamente oltre il 25 percento (pix 4 diviso per 384) e lo 0,19 percento (pix 12 diviso per fattore 12). In quest’ultimo caso a 24 dimensioni, in cui ogni sfera tocca almeno 19.560 sfere contigue, la stragrande maggioranza dello spazio rimane vuota.

È noto da tempo che queste reti esistono, proprio come puoi facilmente impilare palline al loro interno. Ma la mancanza di impilamento che consente di risparmiare più spazio non è stata ancora dimostrata. Nel 2003 ci sono stati sviluppi che potrebbero portare alla prova. Questi tentativi fallirono, ma nel 2016 Vyazovska riuscì nell’ottava dimensione. Poco dopo, lei e alcuni colleghi furono in grado di estendere la sua dimostrazione alla dimensione 24. A differenza delle “normali” sfere 3D, non erano richiesti calcoli computerizzati di dimostrazione.

Codice QR danneggiato

La ricerca di stack di campi di dimensioni superiori ha applicazioni nella teoria del codice di correzione degli errori. È possibile leggere un codice QR stampato con angoli strappati o macchie di caffè? È possibile recuperare la copia non danneggiata di un messaggio inviato digitalmente che è stato danneggiato? In linea di principio sì, purché il danno non sia troppo grande.

Il messaggio da inviare viene convertito in token corrispondenti ai centri di dominio. Se si verificano errori, i bit nella password cambiano, ma finché non sono molti, la parola in codice rimane all’interno del dominio. Il codice danneggiato può quindi essere corretto attaccandolo al centro della palla.

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Per questa applicazione, la guida all’ottimizzazione di Viazovska non è necessaria. In precedenza, le reti E8 e Leech erano utili anche per il debug delle applicazioni. Ma per Viazovska, questi tipi di applicazioni sono solo un sottoprodotto. Grazie al suo lavoro sono apparsi nuovi orizzonti nella matematica pura.

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